LOS CUADRILÁTEROS
Un cuadrilátero es un polígono que tiene cuatro lados. Los cuadriláteros pueden tener distintas formas, pero todos ellos tienen cuatro vértices y dos diagonales, y la suma de sus ángulos internos siempre da como resultado 360º.
Por lógica todos los cuadriláteros son cuadrángulos, ya que esta definición se aplica a los polígonos de cuatro ángulos.
1. Clasificación de los
cuadriláteros
Un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados.
En la figura 2 vemos que sus lados opuestos son paralelos dos a dos. Son paralelos el lado AB con el DC. También son paralelos DA y CB. Este cuadrilátero se llama paralelogramo.
La figura 3 tiene dos lados paralelos: el AB con el CD. Pero los otros dos lados no son paralelos. Se llama trapecio, que es un cuadrilátero que tiene dos lados opuestos paralelos y los otros dos no.
La figura 1 no tiene ningún lado paralelo y se llama trapezoide.
Un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados.
En la figura 2 vemos que sus lados opuestos son paralelos dos a dos. Son paralelos el lado AB con el DC. También son paralelos DA y CB. Este cuadrilátero se llama paralelogramo.
La figura 3 tiene dos lados paralelos: el AB con el CD. Pero los otros dos lados no son paralelos. Se llama trapecio, que es un cuadrilátero que tiene dos lados opuestos paralelos y los otros dos no.
La figura 1 no tiene ningún lado paralelo y se llama trapezoide.
2.- Propiedades de los Cuadriláteros
Los cuadriláteros son polígonos, figuras geométricas formadas de líneas
rectas que encierran una porción finita de plano, cuya única
característica es:
-Tienen cuatro lados.
A partir de aquí, los cuadriláteros se dividen en tres grandes grupos: los paralelogramos, los trapecios y los trapezoides. Nos ocuparemos primeramente de los paralelogramos.
Los paralelogramos son un tipo de cuadriláteros que tienen como características:
-Tienen cuatro lados.
-Dos lados opuestos son paralelos.
-Los otros dos lados son paralelos entre sí también.
Dentro de los cuadriláteros, y por las mismas características que éstas figuras poseen, podemos distinguir a los rectángulos, los rombos y el cuadrado.
Los rectángulos son paralelogramos que, aparte de cumplir con las propiedades de éstos últimos, tienen las características de que:
-Sus lados opuestos son iguales entre sí.
-Sus cuatro ángulos interiores son iguales.
Los rombos, al ser paralelogramos también, cumplen con las propiedades de éstos y tienen las siguientes características:
-Sus ángulos internos opuestos son iguales entre sí.
-Sus cuatro lados son iguales.
El tercer tipo de paralelogramo, el cuadrado, cumple con las propiedades de los paralelogramos, los rectángulos y los rombos, por lo que puede ser considerado como un caso en particular de éstos últimos y sus características son una combinación de las características de dichas figuras, las cuales son:
-cuatro ángulos interiores son iguales.
-Sus cuatro lados son iguales.
El otro gran grupo de cuadriláteros, o "familia", es el de los trapecios. Los trapecios son cuadriláteros que tienen las siguientes características:
-Tienen cuatro lados.
-Dos lados son paralelos entre sí.
-Los otros dos lados NO son paralelos entre sí.
Dentro de los trapecios existen los trapecios isósceles, los trapecios escálenos y los trapecios rectángulos.
Los trapecios isósceles cumplen con las características de los trapecios y, además, con la característica siguiente:
-Los lados no paralelos son iguales entre sí.
-Los ángulos interiores situados en los extremos de cada uno de los lados paralelos son -iguales entre sí.
Los trapecios escálenos cumplen, por ser trapecios, con las características del trapecio, además de que tienen la siguiente condición:
-Los lados no paralelos NO son iguales entre sí.
-Los ángulos interiores situados en los extremos de cada uno de los lados paralelos NO -son iguales entre sí.
Finalmente, los trapecios rectángulos forman un subconjunto dentro de los trapecios escálenos, por lo que cumplen con las características de éstos y, también, con las características:
-Un lado de los no paralelos es perpendicular a los lados paralelos.
-Los ángulos situados en los extremos de dicho lado perpendicular son iguales entre sí y rectos.
UN POCO DE HISTORIA
La historia del origen de la Geometría es muy similar a la de la Aritmética, siendo sus conceptos más antiguos consecuencia de las actividades prácticas. Los primeros hombres llegaron a formas geométricas a partir de la observación de la naturaleza.El sabio griego Eudemo de Rodas, atribuyó a los egipcios el descubrimiento de la geometría, ya que, según él, necesitaban medir constantemente sus tierras debido a que las inundaciones del Nilo borraban continuamente sus fronteras. Recordemos que, precisamente, la palabra geometría significa medida de tierras.Los egipcios se centraron principalmente en el cálculo de áreas y volúmenes, encontrando, por ejemplo, para el área del círculo un valor aproximado.También se tienen nociones geométricas en la civilización mesopotámica, constituyendo los problemas de medida el bloque central en este campo: área del cuadrado, del círculo.No se puede decir que la geometría fuese el punto fuerte de las culturas china e india, limitándose principalmente a la resolución de problemas sobre distancias y semejanzas de cuerpos. También hay quien afirma que estas dos civilizaciones llegaron a enunciados de algunos casos particulares del teorema de Pitágoras, e incluso que desarrollaron algunas ideas sobre la demostración de este teorema. En los matemáticos de la cultura helénica los problemas prácticos relacionados con las necesidades de cálculos aritméticos, mediciones y construcciones geométricas continuaron jugando un gran papel.El carácter abstracto del objeto de las matemáticas y los métodos de demostración matemática establecidos, fueron las principales causas para que esta ciencia se comenzara a exponer como una ciencia deductiva, que a partir de unos axiomas, presenta una sucesión lógica de teoremas. Las obras en las cuales, en aquella época se exponían los primeros sistemas matemáticos de denominaban "Elementos". La obra matemática más impresionante de la historia: Los Elementos de Euclides. ”Los Elementos", como denominaremos a esta obra a partir de ahora, están constituidos por trece libros, cada uno de los cuales consta de una sucesión de teoremas. A veces se añaden otros dos, los libros 14 y 15 que pertenecen a otros autores pero por su contenido, están próximos al último libro de Euclides.En "Los Elementos" de Euclides se recogen una serie de axiomas o postulados que sirvieron de base para el posterior desarrollo de la geometría. Es de especial interés, por la controversia que originó en épocas posteriores el quinto axioma, denominado "el de las paralelas", según el cual dos rectas paralelas no se cortan nunca. Durante siglos se asumió este axioma como irrebatible, hasta que en el siglo XIX surgieron las llamadas geometrías no euclídeas, que rebatieron este postulado.
-Tienen cuatro lados.
A partir de aquí, los cuadriláteros se dividen en tres grandes grupos: los paralelogramos, los trapecios y los trapezoides. Nos ocuparemos primeramente de los paralelogramos.
Los paralelogramos son un tipo de cuadriláteros que tienen como características:
-Tienen cuatro lados.
-Dos lados opuestos son paralelos.
-Los otros dos lados son paralelos entre sí también.
Dentro de los cuadriláteros, y por las mismas características que éstas figuras poseen, podemos distinguir a los rectángulos, los rombos y el cuadrado.
Los rectángulos son paralelogramos que, aparte de cumplir con las propiedades de éstos últimos, tienen las características de que:
-Sus lados opuestos son iguales entre sí.
-Sus cuatro ángulos interiores son iguales.
Los rombos, al ser paralelogramos también, cumplen con las propiedades de éstos y tienen las siguientes características:
-Sus ángulos internos opuestos son iguales entre sí.
-Sus cuatro lados son iguales.
El tercer tipo de paralelogramo, el cuadrado, cumple con las propiedades de los paralelogramos, los rectángulos y los rombos, por lo que puede ser considerado como un caso en particular de éstos últimos y sus características son una combinación de las características de dichas figuras, las cuales son:
-cuatro ángulos interiores son iguales.
-Sus cuatro lados son iguales.
El otro gran grupo de cuadriláteros, o "familia", es el de los trapecios. Los trapecios son cuadriláteros que tienen las siguientes características:
-Tienen cuatro lados.
-Dos lados son paralelos entre sí.
-Los otros dos lados NO son paralelos entre sí.
Dentro de los trapecios existen los trapecios isósceles, los trapecios escálenos y los trapecios rectángulos.
Los trapecios isósceles cumplen con las características de los trapecios y, además, con la característica siguiente:
-Los lados no paralelos son iguales entre sí.
-Los ángulos interiores situados en los extremos de cada uno de los lados paralelos son -iguales entre sí.
Los trapecios escálenos cumplen, por ser trapecios, con las características del trapecio, además de que tienen la siguiente condición:
-Los lados no paralelos NO son iguales entre sí.
-Los ángulos interiores situados en los extremos de cada uno de los lados paralelos NO -son iguales entre sí.
Finalmente, los trapecios rectángulos forman un subconjunto dentro de los trapecios escálenos, por lo que cumplen con las características de éstos y, también, con las características:
-Un lado de los no paralelos es perpendicular a los lados paralelos.
-Los ángulos situados en los extremos de dicho lado perpendicular son iguales entre sí y rectos.
UN POCO DE HISTORIA
La historia del origen de la Geometría es muy similar a la de la Aritmética, siendo sus conceptos más antiguos consecuencia de las actividades prácticas. Los primeros hombres llegaron a formas geométricas a partir de la observación de la naturaleza.El sabio griego Eudemo de Rodas, atribuyó a los egipcios el descubrimiento de la geometría, ya que, según él, necesitaban medir constantemente sus tierras debido a que las inundaciones del Nilo borraban continuamente sus fronteras. Recordemos que, precisamente, la palabra geometría significa medida de tierras.Los egipcios se centraron principalmente en el cálculo de áreas y volúmenes, encontrando, por ejemplo, para el área del círculo un valor aproximado.También se tienen nociones geométricas en la civilización mesopotámica, constituyendo los problemas de medida el bloque central en este campo: área del cuadrado, del círculo.No se puede decir que la geometría fuese el punto fuerte de las culturas china e india, limitándose principalmente a la resolución de problemas sobre distancias y semejanzas de cuerpos. También hay quien afirma que estas dos civilizaciones llegaron a enunciados de algunos casos particulares del teorema de Pitágoras, e incluso que desarrollaron algunas ideas sobre la demostración de este teorema. En los matemáticos de la cultura helénica los problemas prácticos relacionados con las necesidades de cálculos aritméticos, mediciones y construcciones geométricas continuaron jugando un gran papel.El carácter abstracto del objeto de las matemáticas y los métodos de demostración matemática establecidos, fueron las principales causas para que esta ciencia se comenzara a exponer como una ciencia deductiva, que a partir de unos axiomas, presenta una sucesión lógica de teoremas. Las obras en las cuales, en aquella época se exponían los primeros sistemas matemáticos de denominaban "Elementos". La obra matemática más impresionante de la historia: Los Elementos de Euclides. ”Los Elementos", como denominaremos a esta obra a partir de ahora, están constituidos por trece libros, cada uno de los cuales consta de una sucesión de teoremas. A veces se añaden otros dos, los libros 14 y 15 que pertenecen a otros autores pero por su contenido, están próximos al último libro de Euclides.En "Los Elementos" de Euclides se recogen una serie de axiomas o postulados que sirvieron de base para el posterior desarrollo de la geometría. Es de especial interés, por la controversia que originó en épocas posteriores el quinto axioma, denominado "el de las paralelas", según el cual dos rectas paralelas no se cortan nunca. Durante siglos se asumió este axioma como irrebatible, hasta que en el siglo XIX surgieron las llamadas geometrías no euclídeas, que rebatieron este postulado.
